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  典型直流微電網(wǎng)拓?fù)淙鐖D1所示，該直流微電網(wǎng)主要由n臺(tái)DC/DC變換器、n條直流線路和1個(gè)等效恒功率負(fù)荷等構(gòu)成。其中，Lsn、Csn和Rsn分別為第n臺(tái)DC/DC變換器的濾波電感、濾波電容和濾波電阻；Usn和Isn分別為第n臺(tái)DC/DC變換器的輸入電壓和濾波電感電流；UOn和IOn分別為第n臺(tái)DC/DC變換器的輸出電壓和輸出電流；Kpin和Kiin分別為第n個(gè)電流控制器的比例系數(shù)和積分系數(shù)；Kpun和Kiun分別為第n個(gè)電壓控制器的比例系數(shù)和積分系數(shù)；Dsn為第n臺(tái)DC/DC變換器的占空比；Urefn和Kdn分別為第n臺(tái)DC/DC變換器的電壓參考值和下垂系數(shù)；ωfn為第n臺(tái)DC/DC變換器的低通濾波器控制帶寬；s為拉普拉斯算子；Lln和Rln分別為第n條直流線路的線路電感和線路電阻；Irn和ICsn分別為第n臺(tái)DC/DC變換器的濾波電感電流參考值和濾波電容電流；Ccpl、Icpl和Pcpl分別為恒功率負(fù)荷的輸入濾波電容、電流和功率，U為直流母線電壓。

圖1 直流微電網(wǎng)拓?fù)?

Fig.1 Topology of the DC microgrid

  1.2 兩種典型虛擬慣性控制策略

  為增強(qiáng)直流微電網(wǎng)的虛擬慣性，通常會(huì)采用圖2所示的2種典型虛擬慣性控制策略：基于低通濾波器和基于類(lèi)虛擬同步發(fā)電機(jī)的虛擬慣性控制策略。

圖2 2種典型虛擬慣性控制策略

Fig.2 Two typical virtual inertia control strategies

  上述2種典型虛擬慣性控制策略之間可以相互轉(zhuǎn)化，其關(guān)系式為

  式中：JUn和Dbn分別為采用類(lèi)虛擬同步發(fā)電機(jī)控制的第n臺(tái)DC/DC變換器的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量和阻尼系數(shù)。

  為方便起見(jiàn)，本文將以基于低通濾波器的虛擬慣性控制為例開(kāi)展理論研究工作。

  1.3 高頻振蕩失穩(wěn)問(wèn)題

  以文獻(xiàn)[10]中的直流微電網(wǎng)為研究對(duì)象（2臺(tái)DC/DC變換器的電壓比例系數(shù)均為1，其余參數(shù)均與文獻(xiàn)[10]保持一致），利用PLECS軟件搭建其開(kāi)關(guān)模型。在0.8 s時(shí)，恒功率負(fù)荷的功率從0.7 kW突增至1.4 kW，直流微電網(wǎng)的直流母線電壓時(shí)域仿真結(jié)果如圖3所示。可以看出，直流母線電壓出現(xiàn)了振蕩頻率約為476 Hz（振蕩周期約為0.0021s）的高頻振蕩失穩(wěn)現(xiàn)象。

圖3 直流微電網(wǎng)的高頻振蕩仿真結(jié)果

Fig.3 Simulation results of high-frequency oscillations in DC microgrid

  2 基于降階模型的虛擬慣性參數(shù)可行域

  2.1 直流微電網(wǎng)的降階模型

  為解決高階模型造成的直流微電網(wǎng)小擾動(dòng)穩(wěn)定性分析難題，本文提出了低通濾波器等效建模方法。圖1直流微電網(wǎng)的全階模型階數(shù)為6n+1階，利用該方法對(duì)直流微電網(wǎng)進(jìn)行降階處理，得到階數(shù)為7階的降階模型，如圖4所示。圖中，Rs、Ls和Cs分別為降階模型的濾波電阻、濾波電感和濾波電容；Us和Is分別為降階模型的輸入電壓和濾波電感電流；UO和IO分別為降階模型的輸出電壓和輸出電流；ICs和Ir分別為降階模型的濾波電容電流和濾波電感電流參考值；Kpi和Kii分別為降階模型的電流比例系數(shù)和電流積分系數(shù)；Kpu和Kiu分別為降階模型的電壓比例系數(shù)和電壓積分系數(shù)；Ds為降階模型的占空比；Uref和Kd分別為降階模型的電壓參考值和下垂系數(shù)；ωf為降階模型的低通濾波器控制帶寬；Ll和Rl分別為等效直流線路的線路電感和線路電阻；Ur為降階模型的電壓參考信號(hào)。

圖4 降階模型拓?fù)?

Fig.4 Topology of the reduced-order model

  2.1.1 基于低通濾波器的虛擬慣性控制降階建模

  由圖1可知，第n臺(tái)DC/DC變換器的虛擬慣性控制表達(dá)式為

  由于直流微電網(wǎng)中DC/DC變換器及直流線路均來(lái)自同一廠家，電路參數(shù)和控制參數(shù)均相同，即

  進(jìn)而，直流微電網(wǎng)中n個(gè)基于低通濾波器的虛擬慣性控制環(huán)節(jié)可以等效為

  聯(lián)立式（2）、（3）和（4），可得

  至此，圖1直流微電網(wǎng)中的n階虛擬慣性控制環(huán)節(jié)，可以等效為圖4降階模型中的1階虛擬慣性控制環(huán)節(jié)。

  2.1.2 電壓控制和電流控制降階建模

  根據(jù)文獻(xiàn)[24]，直流微電網(wǎng)中n個(gè)電壓控制器（或電流控制器）可以等效為1個(gè)電壓控制器（或電流控制器），即

  2.1.3 降階模型的有效性驗(yàn)證

  相同擾動(dòng)情況下，降階模型的時(shí)域仿真結(jié)果如圖5所示。由圖5可知，直流微電網(wǎng)與其降階模型的直流母線電壓時(shí)域仿真結(jié)果基本一致，驗(yàn)證了本文所提低通濾波器等效建模方法的有效性。

圖5 降階模型的高頻振蕩仿真結(jié)果

Fig.5 Simulation results of high-frequency oscillations in the reduced-order model

  2.2 降階模型的電壓閉環(huán)傳遞函數(shù)

  2.2.1 降階模型的電壓閉環(huán)傳遞函數(shù)理論推導(dǎo)

  對(duì)圖4所示的降階模型進(jìn)行線性化處理，可得到電壓閉環(huán)傳遞函數(shù)Guiu(s)為

  式中：Guiun(s)、Guid1(s)和Guid2(s)分別為傳遞函數(shù)Guiu(s)的分子、第1個(gè)分母和第2個(gè)分母?jìng)鬟f函數(shù)，具體表達(dá)式分別為

  式中：Rcpl為等效電阻；Gudld(s)和Gudln(s)分別為傳遞函數(shù)Gud(s)的分子和分母。

  2.2.2 高頻振蕩失穩(wěn)問(wèn)題的理論分析

  傳遞函數(shù)Gud(s)和Guiu(s)的頻域響應(yīng)曲線如圖6所示，將對(duì)圖5中的高頻振蕩失穩(wěn)現(xiàn)象進(jìn)行理論解釋。傳遞函數(shù)Gud(s)在頻率485 Hz處存在一個(gè)高頻振蕩尖峰。結(jié)合圖4可知，該高頻振蕩尖峰的LC振蕩環(huán)節(jié)由恒功率負(fù)荷的輸入濾波電容Ccpl與等效線路阻抗Rl/Ll共同構(gòu)成。由圖6可知，傳遞函數(shù)Guiu(s)在振蕩頻率485 Hz處也存在一個(gè)高頻振蕩尖峰。據(jù)此可推斷出，在現(xiàn)有虛擬慣性參數(shù)情況下，低通濾波器未能有效抑制該高頻振蕩尖峰。

圖6 傳遞函數(shù)Gud(s)和Guiu(s)的頻域響應(yīng)曲線（第1組參數(shù)）

Fig.6 Frequency domain response curve of transfer functions Gud(s) and Guiu(s) (group 1 parameters)

  傳遞函數(shù)Guiu(s)的零極點(diǎn)分布情況如圖7所示，從中也可以得到相同的結(jié)論。因此，有必要設(shè)計(jì)出能夠抑制該高頻振蕩尖峰的虛擬慣性參數(shù)。

圖7 傳遞函數(shù)Guiu(s)的零極點(diǎn)分布（第1組參數(shù)）

Fig.7 Zero pole distribution of transfer function Guiu(s) (first set of parameters)

  由上述分析可知，可以將高頻共軛極點(diǎn)的阻尼比作為判別直流微電網(wǎng)是否發(fā)生高頻振蕩失穩(wěn)以及虛擬慣性參數(shù)是否合理的依據(jù)。

  2.3 虛擬慣性參數(shù)可行域

  為明確虛擬慣性參數(shù)的可選取范圍，本文提出了以下垂系數(shù)和低通濾波控制帶寬為參數(shù)空間的虛擬慣性參數(shù)可行域的概念以及基于高頻共軛極點(diǎn)阻尼比的虛擬慣性參數(shù)可行域求解方法，刻畫(huà)流程如圖8所示。其中，Kdmin和Kdmax分別為下垂系數(shù)的最小值和最大值；ωfmin和ωfmax分別為低通濾波控制帶寬的最小值和最大值；a和b均為中間變量；x為采樣點(diǎn)數(shù)。

圖8 虛擬慣性參數(shù)可行域刻畫(huà)流程

Fig.8 Flow for characterizing the feasible region of virtual inertia parameters

  由圖8可知，虛擬慣性參數(shù)可行域刻畫(huà)流程可總結(jié)為以下4個(gè)步驟。

  1）輸入?yún)?shù)：降階模型的下垂系數(shù)的設(shè)定范圍為[Kdmin, Kdmax]，低通濾波控制帶寬的設(shè)定范圍為[ωfmin, ωfmax]，采樣點(diǎn)數(shù)為x。

  2）初始化：下垂系數(shù)Kd = Kdmin，步長(zhǎng)a = (Kdmax – Kdmin)/x；低通濾波控制帶寬ωf = ωfmin，步長(zhǎng)b = (ωfmax – ωfmin)/x。

  3）判斷穩(wěn)定性：求解閉環(huán)傳遞函數(shù)Guiu(s)的零極點(diǎn)，判斷高頻共軛極點(diǎn)的阻尼比是否為正值。若為正值，則該組參數(shù)位于虛擬慣性參數(shù)可行域之內(nèi)；反之，則該組控制參數(shù)位于虛擬慣性參數(shù)可行域之外。

  4）輸出虛擬慣性參數(shù)可行域：以下垂系數(shù)Kd和低通濾波控制帶寬ωf為參數(shù)空間刻畫(huà)虛擬慣性參數(shù)可行域。

  利用本文提出的求解方法刻畫(huà)該直流微電網(wǎng)的虛擬慣性參數(shù)可行域如圖9所示。在此基礎(chǔ)上，為設(shè)置對(duì)照，在可行域中選取了4組虛擬慣性參數(shù)，如表1所示。不失一般性，在不同的直流微電網(wǎng)中，直流線路的長(zhǎng)度也不盡相同。為此，以文獻(xiàn)[10]中的線路參數(shù)為基準(zhǔn)值，直流線路長(zhǎng)度分別為1倍長(zhǎng)度、1.5倍長(zhǎng)度和2倍長(zhǎng)度時(shí)，虛擬慣性參數(shù)可行域分別為VOABCD、VOAEFD和VOAGCD?？梢钥闯觯S著直流線路長(zhǎng)度的增加，虛擬慣性參數(shù)可行域的面積不斷擴(kuò)大；第1組虛擬慣性控制參數(shù)（Kd=0.52、ωf=7000rad/s）位于虛擬慣性參數(shù)可行域VOABCD之外，即第1組虛擬慣性控制參數(shù)不合理。

圖9 虛擬慣性參數(shù)可行域

Fig.9 The feasible region of virtual inertia parameters

表1 4組虛擬慣性參數(shù)

Table 1 Four sets of virtual inertia parameters

  根據(jù)虛擬慣性參數(shù)可行域選定合適的下垂系數(shù)Kd和低通濾波控制帶寬ωf后，計(jì)算得到第m臺(tái)DC/DC變換器的下垂系數(shù)Kdm和低通濾波控制帶寬ωfm為

  3 理論分析

  3.1 基于虛擬慣性參數(shù)可行域的下垂系數(shù)設(shè)計(jì)

  由圖9可知，第2組參數(shù)（Kd=0.25、ωf=7000rad/s）位于虛擬慣性參數(shù)可行域VOABCD之內(nèi)，即第2組參數(shù)可有效保證直流微電網(wǎng)的小擾動(dòng)穩(wěn)定性。根據(jù)圖10所示的頻域響應(yīng)曲線可知，第2組參數(shù)的高頻振蕩尖峰要明顯小于第1組參數(shù)。同時(shí)，進(jìn)行了如圖11所示的掃頻驗(yàn)證。由圖10可知，第2組參數(shù)時(shí)，傳遞函數(shù)Guiu(s)的理論結(jié)果與其掃頻結(jié)果在低頻、中頻和高頻范圍內(nèi)均幾乎吻合，驗(yàn)證了傳遞函數(shù)Guiu(s)低頻、中頻和高頻范圍內(nèi)的精度。

圖10 第2組參數(shù)的頻域響應(yīng)曲線

Fig.10 Frequency domain response curve of the second set of parameters

圖11 傳遞函數(shù)Guiu(s)的掃頻原理

Fig.11 The swept principle of the transfer function Guiu(s)

  第2組參數(shù)的傳遞函數(shù)Guiu(s)零極點(diǎn)分布情況如圖12所示。高頻共軛極點(diǎn)的阻尼比為0.02＞0，即直流微電網(wǎng)不會(huì)出現(xiàn)高頻振蕩失穩(wěn)問(wèn)題，低頻共軛極點(diǎn)的振蕩頻率和阻尼比分別為13.5 Hz和0.444。

圖12 第2組參數(shù)的零極點(diǎn)分布

Fig.12 Zero pole distribution of the second set of parameters

  3.2 基于虛擬慣性參數(shù)可行域的低通濾波控制帶寬設(shè)計(jì)

  同理，從圖9可以看出，第3組參數(shù)（Kd=0.52、ωf=1000rad/s）位于虛擬慣性參數(shù)可行域VOABCD之內(nèi)，即第3組參數(shù)也能保證直流微電網(wǎng)的小擾動(dòng)穩(wěn)定性。第3組參數(shù)的頻域響應(yīng)曲線如圖13所示。由圖13可知，相較于第1組參數(shù)，第3組參數(shù)有效抑制了高頻振蕩尖峰。

圖13 第3組參數(shù)的頻域響應(yīng)曲線

Fig.13 Frequency domain response curve of the third set of parameters

  第3組參數(shù)的零極點(diǎn)分布如圖14所示。由圖14可知，第3組參數(shù)的高頻共軛極點(diǎn)位于虛軸左側(cè)，并且低頻共軛極點(diǎn)的振蕩頻率及阻尼比分別為13.2 Hz和0.462，即選取第3組參數(shù)時(shí)直流微電網(wǎng)呈現(xiàn)低頻動(dòng)態(tài)穩(wěn)定。

圖14 第3組參數(shù)的零極點(diǎn)分布

Fig.14 Zero pole distribution of the third set of parameters

  3.3 不同直流線路長(zhǎng)度的下垂系數(shù)設(shè)計(jì)

  從圖9可以看出，對(duì)于2倍長(zhǎng)度直流線路的直流微電網(wǎng)，第4組參數(shù)（Kd=0.63、ωf=7000rad/s）是合理的。然而，該組參數(shù)卻會(huì)導(dǎo)致1.5倍長(zhǎng)度直流線路的直流微電網(wǎng)出現(xiàn)高頻振蕩失穩(wěn)問(wèn)題。圖15為第4組參數(shù)的頻域響應(yīng)曲線。由圖15可知，第4組參數(shù)能夠有效抑制2倍長(zhǎng)度直流線路的高頻振蕩尖峰，但卻難以抑制1.5倍長(zhǎng)度直流線路的高頻振蕩尖峰。

圖15 第4組參數(shù)的頻域響應(yīng)曲線

Fig.15 Frequency domain response curve of the fourth set of parameters

  圖16為第4組參數(shù)的零極點(diǎn)分布。由圖16可知，1.5倍長(zhǎng)度直流線路的高頻共軛極點(diǎn)位于虛軸的右側(cè)，這就說(shuō)明直流微電網(wǎng)將出現(xiàn)振蕩頻率約為404 Hz的高頻振蕩失穩(wěn)現(xiàn)象。然而，2倍長(zhǎng)度直流線路的高頻共軛極點(diǎn)位于虛軸左側(cè)，并且低頻共軛極點(diǎn)的振蕩頻率和阻尼比分別為13.2 Hz和0.458，這說(shuō)明第4組參數(shù)能夠保證2倍長(zhǎng)度直流線路的直流微電網(wǎng)小擾動(dòng)穩(wěn)定性。

圖16 第4組參數(shù)的零極點(diǎn)分布

Fig.16 Zero pole distribution of the fourth set of parameters

  4 仿真驗(yàn)證

  4.1 基于虛擬慣性參數(shù)可行域的下垂系數(shù)

  圖17為第2組參數(shù)的時(shí)域仿真結(jié)果。由圖17可知，相同擾動(dòng)場(chǎng)景（0.8 s時(shí)，恒功率負(fù)荷的功率從0.7 kW突增至1.4 kW）下直流母線電壓低頻動(dòng)態(tài)過(guò)程的振蕩頻率約為12.6 Hz，與圖12中振蕩頻率理論值（13.5 Hz）基本一致，驗(yàn)證了圖9中虛擬慣性參數(shù)可行域在下垂系數(shù)維度的有效性。

圖17 第2組參數(shù)的時(shí)域仿真結(jié)果

Fig.17 Simulation results for the second set of parameters

  4.2 基于虛擬慣性參數(shù)可行域的低通濾波控制帶寬

  圖18為第3組參數(shù)的時(shí)域仿真結(jié)果。由圖18可知，相同擾動(dòng)場(chǎng)景下，直流母線電壓低頻動(dòng)態(tài)過(guò)程的振蕩頻率約為11.9 Hz，與圖14中振蕩頻率理論值（13.2 Hz）基本一致。

圖18 第3組參數(shù)的時(shí)域仿真結(jié)果

Fig.18 Simulation results for the third set of parameters

  4.3 不同直流線路長(zhǎng)度時(shí)的下垂系數(shù)

  圖19為1.5倍和2倍長(zhǎng)度直流線路時(shí)第4組參數(shù)的時(shí)域仿真結(jié)果。由圖19可知，相同擾動(dòng)工況下，1.5倍長(zhǎng)度的直流線路時(shí)，直流微電網(wǎng)出現(xiàn)了振蕩頻率約為400 Hz（振蕩周期約為0.0025s）的高頻振蕩失穩(wěn)現(xiàn)象，與圖16 a)中振蕩頻率理論值（404 Hz）基本一致。2倍長(zhǎng)度直流線路的時(shí)域仿真結(jié)果呈現(xiàn)低頻動(dòng)態(tài)穩(wěn)定，時(shí)域結(jié)果中的低頻振蕩頻率約為11.7 Hz，與圖16 b)中振蕩頻率理論值（13.2 Hz）基本一致。上述仿真結(jié)果驗(yàn)證了圖9中虛擬慣性參數(shù)可行域在線路變化時(shí)的有效性。

圖19 不同長(zhǎng)度直流線路的仿真結(jié)果

Fig.19 Simulation results for different lengths of DC lines

  5 結(jié)論

  針對(duì)虛擬慣性控制參數(shù)不合理造成的直流微電網(wǎng)高頻振蕩失穩(wěn)問(wèn)題，本文提出了低通濾波器等效建模方法、虛擬慣性參數(shù)可行域的概念及求解方法，主要結(jié)論如下。

  1）針對(duì)包含n臺(tái)DC/DC變換器的直流微電網(wǎng)（其模型階數(shù)為6n+1階），提出了低通濾波器等效建模方法，建立了模型階數(shù)為7階的降階模型，并推導(dǎo)了降階模型的電壓閉環(huán)傳遞函數(shù)，多組仿真結(jié)果驗(yàn)證了該降階模型的有效性。

  2）針對(duì)不合理虛擬慣性控制參數(shù)引發(fā)的直流微電網(wǎng)高頻振蕩失穩(wěn)問(wèn)題，定義了以下垂系數(shù)和低通濾波控制帶寬為參數(shù)空間的虛擬慣性參數(shù)可行域的概念，并提出了基于高頻共軛極點(diǎn)阻尼比的虛擬慣性參數(shù)可行域求解方法?；谒坍?huà)的可行域，能夠設(shè)計(jì)出有效保證直流微電網(wǎng)小擾動(dòng)穩(wěn)定性的下垂系數(shù)和低通濾波控制帶寬。

  3）保持低通濾波控制帶寬（或下垂系數(shù)）不變時(shí)，減小下垂系數(shù)（或低通濾波控制帶寬）能夠有效避免直流微電網(wǎng)出現(xiàn)高頻振蕩失穩(wěn)問(wèn)題，即有效提高直流微電網(wǎng)的小擾動(dòng)穩(wěn)定性。

  一方面，在此虛擬慣性參數(shù)可行域基礎(chǔ)上，如何量化設(shè)計(jì)低通濾波控制帶寬，使得直流母線電壓的時(shí)域仿真波形呈現(xiàn)出理想虛擬慣性特征，值得未來(lái)深入探討；另一方面，針對(duì)由不同參數(shù)DC/DC變換器構(gòu)成的直流微電網(wǎng)，如何開(kāi)展虛擬慣性控制參數(shù)設(shè)計(jì)，也是未來(lái)的研究方向之一。

  注：本文內(nèi)容呈現(xiàn)略有調(diào)整，如需要請(qǐng)查看原文。