基于容量增量曲線與GWO-GPR的鋰離子電池SOH估計(jì)
作者：王琛, 閔永軍
單位：南京林業(yè)大學(xué)汽車與交通工程學(xué)院
引用：王琛, 閔永軍. 基于容量增量曲線與GWO-GPR的鋰離子電池SOH估計(jì)[J]. 儲(chǔ)能科學(xué)與技術(shù), 2023, 12(11): 3508-3518.
DOI：10.19799/j.cnki.2095-4239.2023.0458
摘 要 電池健康狀態(tài)(state of health， SOH）的準(zhǔn)確估計(jì)是電池管理系統(tǒng)的關(guān)鍵技術(shù)之一，對(duì)保障電動(dòng)汽車安全、可靠運(yùn)行至關(guān)重要。針對(duì)當(dāng)前高斯過程回歸(gaussian process regression，GPR)中單一核函數(shù)泛化性能不足，超參數(shù)選取易陷入局部最優(yōu)導(dǎo)致SOH估計(jì)精度較低的問題，提出一種灰狼優(yōu)化算法(grey wolf optimization，GWO)和組合核函數(shù)改進(jìn)GPR的SOH估計(jì)方法。首先，基于容量增量分析法提取用于表征電池老化的特征，對(duì)電池恒流充電的容量-電壓曲線插值并以差分法計(jì)算容量增量(increment capacity，IC)曲線，應(yīng)用Savitzky-Golay濾波平滑處理，提取峰值高度、峰值電壓及峰面積作為健康特征；其次，引入多維尺度變換(multidimensional scaling， MDS)消除特征冗余性同時(shí)降低模型計(jì)算復(fù)雜度，利用Pearson系數(shù)驗(yàn)證所提健康特征與SOH的相關(guān)性；然后，結(jié)合SOH退化軌跡的非線性和電池容量再生的準(zhǔn)周期性特點(diǎn)，將神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)核函數(shù)與周期核函數(shù)組合作為GPR的協(xié)方差核函數(shù)，以GWO對(duì)組合核函數(shù)超參數(shù)的初值進(jìn)行優(yōu)化；最后，基于NASA電池?cái)?shù)據(jù)集將所提方法與SVR、ELM、GPR模型作對(duì)比，檢驗(yàn)GWO-GPR模型的準(zhǔn)確性，估計(jì)結(jié)果的最大均方根誤差(root mean square error，RMSE)和平均絕對(duì)誤差(mean absolute error，MAE)分別為1.03%和0.5%，以第60、80、100個(gè)循環(huán)為估計(jì)起始點(diǎn)，驗(yàn)證模型的魯棒性，結(jié)果顯示最大RMSE控制在1.03%以內(nèi)。
關(guān)鍵詞 鋰離子電池；健康狀態(tài)；容量增量曲線；高斯過程回歸；灰狼優(yōu)化算法
面對(duì)環(huán)境污染和化石能源短缺的雙重壓力，電動(dòng)汽車被認(rèn)為是推進(jìn)電氣化交通、優(yōu)化能源結(jié)構(gòu)、改善空氣質(zhì)量的重要舉措，在全世界得到推廣應(yīng)用。動(dòng)力電池是電動(dòng)汽車最核心的部件，鋰離子電池作為一種清潔能源，以其能量密度高、循環(huán)壽命長(zhǎng)、無記憶效應(yīng)、續(xù)航能力強(qiáng)等諸多優(yōu)點(diǎn)，成為了新一代電動(dòng)汽車的首選動(dòng)力源。然而在使用過程中，其內(nèi)部會(huì)發(fā)生復(fù)雜的化學(xué)反應(yīng)，導(dǎo)致SEI膜加厚、電極材料和電解質(zhì)溶液損耗等，電池的安全性降低、續(xù)駛里程減少。因此實(shí)現(xiàn)電池健康狀態(tài)(state of health，SOH)準(zhǔn)確估計(jì)是鋰離子電池安全應(yīng)用的基礎(chǔ)。
電池的退化是內(nèi)部反應(yīng)和外部環(huán)境影響的綜合過程，除了電池內(nèi)部耦合、時(shí)變的電化學(xué)反應(yīng)外，外部負(fù)載、溫度和放電深度等因素也會(huì)影響電池老化，最終導(dǎo)致不同的衰退軌跡，這給SOH監(jiān)測(cè)和評(píng)估帶來了挑戰(zhàn)。鋰離子電池SOH估計(jì)方法主要分為模型法和數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)法2類。模型法又分為電化學(xué)模型和等效電路模型2種。電化學(xué)模型通過建立偏微分方程來描述電池動(dòng)態(tài)特性，過高的模型計(jì)算復(fù)雜度使其更多應(yīng)用于電池衰退機(jī)理方面的研究；等效電路模型根據(jù)電池的外部電氣特性，利用基本電子元件和受控電壓源建立電路模型，常與自適應(yīng)濾波算法如卡爾曼濾波(extended Kalman filter，EKF)、粒子濾波(particle filter，PF)等結(jié)合，通過更新模型參數(shù)實(shí)現(xiàn)SOH估計(jì)。然而電池是一個(gè)復(fù)雜的系統(tǒng)，其荷電狀態(tài)、充放電倍率、溫度等都會(huì)影響電池參數(shù)的變化，因此等效電路模型參數(shù)辨識(shí)難度較大，難以全面準(zhǔn)確地描述電池動(dòng)態(tài)特性。
數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)法從外部可測(cè)量的參數(shù)中提取與電池衰退具有強(qiáng)關(guān)聯(lián)性的健康特征，通過機(jī)器學(xué)習(xí)等智能算法，建立健康特征與電池SOH的映射模型，具有較高的靈活性和可拓展性。Wu等從充電曲線中提取SOH特征參數(shù)，將重要性采樣策略應(yīng)用到前饋神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)(feed forward neural network，F(xiàn)FNN)以減少神經(jīng)元數(shù)量，一定程度上減輕了模型調(diào)參難度；Yayan等以電池恒流充電電壓、電流作為SOH特征參數(shù)，基于雙向長(zhǎng)短期神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)(bi-directional long short-term memory，Bi-LSTM)構(gòu)建模型，但其前期訓(xùn)練需要大量數(shù)據(jù)，且模型抗干擾能力也不強(qiáng)；Wang等從差分熱伏安(differential thermal voltammetry，DTV)曲線中提取特征建立電池退化模型，然而DTV曲線形狀易受環(huán)境溫度影響，難以從中提取到高質(zhì)量健康特征；Nuhic等提取電池循環(huán)次數(shù)、使用時(shí)間、溫度等參數(shù)，建立支持向量回歸(support vector regression，SVR)模型實(shí)現(xiàn)SOH估計(jì)，且在實(shí)際駕駛循環(huán)下進(jìn)行了驗(yàn)證；此外，極限學(xué)習(xí)機(jī)(extreme learning machine，ELM)、隨機(jī)森林(random forest，RF)也廣泛應(yīng)用于SOH估計(jì)，然而上述方法無法量化結(jié)果的不確定性。高斯過程回歸(gaussian process regression，GPR)是一種基于統(tǒng)計(jì)學(xué)原理和貝葉斯理論的方法，在處理小樣本回歸問題時(shí)有突出優(yōu)勢(shì)，同時(shí)可以輸出置信區(qū)間表示結(jié)果的不確定性，是一種應(yīng)用十分廣泛的機(jī)器學(xué)習(xí)方法。Richardson等以GPR模型實(shí)現(xiàn)了電池SOH預(yù)測(cè)，但單一核函數(shù)存在擬合、泛化能力較弱，易陷入局部最優(yōu)等缺點(diǎn)，使得模型對(duì)容量再生現(xiàn)象難以精確捕捉。
針對(duì)上述問題，本工作提出一種基于容量增量(increment capacity，IC)曲線與灰狼優(yōu)化算法(grey wolf optimization，GWO)改進(jìn)GPR的SOH估計(jì)方法，該方法應(yīng)用容量增量分析法(incremental capacity analysis，ICA)從電池IC曲線上提取健康特征，采用多維尺度變換(multidimensional scaling，MDS)非線性降維方法消除特征的冗余性同時(shí)降低模型計(jì)算復(fù)雜度；結(jié)合SOH退化軌跡的非線性和電池容量再生的準(zhǔn)周期性特點(diǎn)，提出以組合核函數(shù)改進(jìn)GPR，針對(duì)共軛梯度法依賴初值、容易陷入局部最優(yōu)的缺點(diǎn)，采用GWO算法對(duì)核函數(shù)超參數(shù)初值進(jìn)行優(yōu)化，實(shí)現(xiàn)了鋰電池SOH的準(zhǔn)確估計(jì)。
1 電池?cái)?shù)據(jù)介紹
1.1 電池?cái)?shù)據(jù)
本工作使用的是美國(guó)國(guó)家航天局(NASA)鋰離子電池公開數(shù)據(jù)集，選取編號(hào)為B0005、B0006、B0007的電池作為研究對(duì)象。在室溫下以1.5 A進(jìn)行恒流充電，電壓升高到4.2 V后在恒壓模式下繼續(xù)充電，直至充電電流降至20 mA。放電以2 A恒流進(jìn)行，直到電池電壓分別降至2.7 V、2.5 V和2.2 V。實(shí)驗(yàn)記錄了3塊電池在每個(gè)充放電循環(huán)中的溫度、電流、電壓、容量等信息，其容量隨循環(huán)次數(shù)的變化曲線如圖1所示。
圖1 NASA數(shù)據(jù)集電池容量退化曲線
隨著循環(huán)次數(shù)的增加，電池容量曲線并非呈單調(diào)遞減趨勢(shì)，容量再生的現(xiàn)象導(dǎo)致曲線出現(xiàn)局部波動(dòng)，且在后期循環(huán)中出現(xiàn)了準(zhǔn)周期性的特點(diǎn)，這種非線性關(guān)系對(duì)電池SOH準(zhǔn)確估計(jì)提出了更高的技術(shù)要求。
1.2 電池健康狀態(tài)定義
電池SOH是指將電池當(dāng)前時(shí)間點(diǎn)的狀態(tài)和初始狀態(tài)相比來評(píng)估當(dāng)前特定性能的健康水平，隨著電池循環(huán)次數(shù)增加，可用容量逐漸降低，因此本工作采用可用容量與電池額定容量之比來定義電池SOH。
式中，圖片為電池第圖片個(gè)循環(huán)的電池SOH，圖片為第圖片個(gè)循環(huán)的電池可用容量，圖片為額定容量。
2 算法介紹
2.1 Pearson系數(shù)
Pearson系數(shù)用于衡量2個(gè)變量圖片和圖片之間的線性關(guān)系，其計(jì)算公式如下：
其中，圖片是數(shù)學(xué)期望，圖片是方差，圖片為圖片和圖片的協(xié)方差。協(xié)方差和標(biāo)準(zhǔn)偏差的商稱為2個(gè)變量的相關(guān)系數(shù)圖片。Pearson系數(shù)的值介于-1和1之間，絕對(duì)值越大代表2個(gè)變量之間的線性相關(guān)性越強(qiáng)，其正負(fù)表示二者呈正相關(guān)或負(fù)相關(guān)。
2.2 多維尺度變換
為消除特征冗余，減少機(jī)器學(xué)習(xí)模型的訓(xùn)練成本并一定程度上提高模型準(zhǔn)確性和泛化性能，通常對(duì)多維特征進(jìn)行降維。應(yīng)用廣泛的主成分分析法(principal component analysis，PCA)適用于線性變換，降維后數(shù)據(jù)間的非線性相關(guān)性有可能丟失，而電池充電過程的復(fù)雜性和不確定性會(huì)造成所提取的健康特征之間呈非線性關(guān)系，因此本工作采用MDS非線性降維方法。同時(shí)，該方法將高維數(shù)據(jù)的相對(duì)距離映射到低維空間時(shí)盡可能保持不變，這些距離度量可以更好地反映數(shù)據(jù)之間的相似性和差異性，從而提升MDS的降維效果。其降維過程具體描述如下。
假設(shè)圖片個(gè)樣本在高維空間的距離矩陣為圖片，圖片中第圖片行圖片列的元素圖片代表樣本圖片和圖片之間的距離；經(jīng)MDS方法降至圖片維的樣本表示為圖片，且圖片，令降維后樣本的內(nèi)積矩陣為圖片，且圖片，則有：
將數(shù)據(jù)中心化處理，表示為
2.3 高斯過程回歸
GPR有非參數(shù)化和概率性等優(yōu)點(diǎn)，其通過定義似然函數(shù)來反映經(jīng)驗(yàn)風(fēng)險(xiǎn)，然后利用貝葉斯理論得到后驗(yàn)概率的假設(shè)，無需建立輸入圖片與輸出圖片之間具體的函數(shù)關(guān)系。高斯過程(gaussian process，GP)被看作是遵循高斯分布的有限數(shù)量隨機(jī)變量的集合，其性質(zhì)主要由均值函數(shù)和協(xié)方差函數(shù)決定，它們統(tǒng)稱為核函數(shù)，如式(9)所示：
出于對(duì)稱的考慮，均值核函數(shù)圖片通常設(shè)置為0，協(xié)方差核函數(shù)圖片通常為平方指數(shù)協(xié)方差函數(shù)，如式(11)。在實(shí)際使用中，也可以根據(jù)應(yīng)用場(chǎng)景選用不同的核函數(shù)。
實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)中包含噪聲，因此對(duì)于回歸問題，觀測(cè)數(shù)據(jù)圖片與隱式函數(shù)圖片的對(duì)應(yīng)關(guān)系為
其中，圖片是輸入變量，圖片為高斯噪聲，服從均值為0、噪聲方差為圖片的高斯分布。因此觀測(cè)值圖片的先驗(yàn)分布表示為
式中，圖片為n維對(duì)稱正定協(xié)方差矩陣，用于描述各個(gè)觀測(cè)點(diǎn)之間的相關(guān)性；圖片為圖片維單位矩陣。GPR的超參數(shù)對(duì)回歸模型的效果有著重要影響，對(duì)超參數(shù)集圖片的優(yōu)化采用的是最大邊緣似然法，表示為
對(duì)上式超參數(shù)求偏導(dǎo)，通過共軛梯度法使偏導(dǎo)數(shù)取最小值，即得到最優(yōu)超參數(shù)。由于GP是一個(gè)隨機(jī)的過程，當(dāng)新的訓(xùn)練集圖片的變量都與原訓(xùn)練集圖片具有相同的高斯分布，那么在測(cè)試點(diǎn)圖片處的觀測(cè)值圖片與預(yù)測(cè)值圖片的聯(lián)合先驗(yàn)分布可表示為：
根據(jù)圖片的聯(lián)合高斯先驗(yàn)分布，可推導(dǎo)出后驗(yàn)分布：
其中，
式中，均值圖片為圖片的估計(jì)值；圖片為測(cè)試樣本的協(xié)方差矩陣，反映估計(jì)值的可靠性。GPR給出的95%置信區(qū)間為
GPR模型所采用的單一協(xié)方差核函數(shù)擬合、泛化能力有限，僅適合對(duì)數(shù)據(jù)的某一方面進(jìn)行描述；通過將不同類型的核函數(shù)組合，可以更好地適應(yīng)復(fù)雜數(shù)據(jù)形式，增強(qiáng)模型非線性映射能力，提升整體準(zhǔn)確性和魯棒性。結(jié)合電池SOH退化的非線性和電池容量再生的準(zhǔn)周期性特點(diǎn)，本工作選取神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)核函數(shù)和周期核函數(shù)組合作為GPR的協(xié)方差核函數(shù)，表示如下：
針對(duì)共軛梯度法本身存在依賴初值、容易陷入局部最優(yōu)等缺點(diǎn)，采用GWO算法對(duì)組合核函數(shù)的超參數(shù)初值進(jìn)行優(yōu)化，構(gòu)建GWO-GPR模型，以解決傳統(tǒng)GPR模型超參數(shù)尋優(yōu)結(jié)果不理想、預(yù)測(cè)效果差的問題。
2.4 灰狼優(yōu)化算法
GWO算法靈感來自灰狼的自然狩獵行為和狼在狼群中的領(lǐng)導(dǎo)能力，具有參數(shù)少、收斂速度快、擬合精度高等多方面優(yōu)勢(shì)。首先在搜索空間內(nèi)隨機(jī)生成種群，每次迭代依據(jù)適應(yīng)度的高低將前3只狼記為圖片，其余為圖片；圖片對(duì)獵物進(jìn)行定位，領(lǐng)導(dǎo)圖片不斷逼近獵物，實(shí)現(xiàn)獲取目標(biāo)問題的最優(yōu)解。本工作將GPR模型組合協(xié)方差核函數(shù)的超參數(shù)作為狼群個(gè)體位置的初始信息，隨著狼群尋找獵物的位置而不斷更新，從而獲取最優(yōu)超參數(shù)。GWO算法的具體步驟如下所述。
2.4.1 包圍
狼群圍捕獵物首先要對(duì)其進(jìn)行包圍，數(shù)學(xué)模型可表示為
其中，圖片是獵物和狼群之間的距離，圖片是迭代次數(shù)；圖片和圖片分別是狼群位置向量和獵物位置向量;圖片和圖片是協(xié)同向量，定義為
式中，圖片、圖片為區(qū)間[0,1]的隨機(jī)向量；圖片是取值為(0, 2)的收斂因子，并隨著迭代次數(shù)的增加線性減小。
2.4.2 狩獵
獵物的位置被識(shí)別和包圍后，狼群進(jìn)行狩獵。每次迭代期間圖片依靠圖片(當(dāng)前最優(yōu)解)、圖片(次優(yōu)解)、圖片(第三優(yōu)解)的位置信息來更新自身位置，不斷縮小與獵物的距離，狼群個(gè)體位置變化的數(shù)學(xué)表達(dá)式如下：
2.5 算法流程
本工作提取充電IC曲線的峰值高度、峰值電壓和峰面積為特征參數(shù)，經(jīng)MDS降維后劃分為訓(xùn)練集和測(cè)試集，將訓(xùn)練集的數(shù)據(jù)輸入GPR，選取神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)核函數(shù)和周期核函數(shù)組合作為協(xié)方差核函數(shù)改進(jìn)GPR，并使用GWO算法對(duì)組合核函數(shù)的超參數(shù)初值進(jìn)行優(yōu)化，建立GWO-GPR模型，將測(cè)試集數(shù)據(jù)輸入訓(xùn)練后的模型實(shí)現(xiàn)SOH估計(jì)。整體算法流程如圖2所示。
圖2 GWO-GPR算法流程
3 實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證與誤差分析
3.1 健康特征的提取及降維
鋰離子電池恒流充電期間，電壓達(dá)到一定值后增長(zhǎng)變得緩慢，這被稱為電壓平臺(tái)期，如圖3所示。此時(shí)電池正負(fù)極材料中鋰離子的遷移速率和反應(yīng)速率達(dá)到了動(dòng)態(tài)平衡，電壓平臺(tái)期的變化是評(píng)估電池SOH的重要依據(jù)。
圖3 不同循環(huán)下充電電壓變化曲線
容量增量分析法能夠?qū)⑵骄彽碾妷浩脚_(tái)轉(zhuǎn)化為IC曲線上易識(shí)別的波峰，容量增量是指單位電壓所對(duì)應(yīng)充入的容量dQ/dV，表達(dá)式如下：
式中，圖片為第圖片和圖片時(shí)刻已充入的電池容量，圖片為第圖片和圖片時(shí)刻的電池端電壓。電池的老化程度不同，繪制出的IC曲線也會(huì)有明顯差異，因此可從IC曲線上提取出電池老化特征，如波峰高度、位置和峰下面積等；同時(shí)該方法在統(tǒng)一的電壓尺度下分析充電數(shù)據(jù)，解決了實(shí)際應(yīng)用中直接對(duì)電壓、電流數(shù)據(jù)進(jìn)行分析時(shí)時(shí)間尺度難以統(tǒng)一、健康特征難以構(gòu)建的問題。NASA數(shù)據(jù)中沒有給出實(shí)時(shí)的容量變化信息，而在恒流充電狀態(tài)下電流幾乎不變，因此本工作使用電流和時(shí)間差來計(jì)算容量變化，如式(28)~(29)所示：
由式(29)可知，電壓間隔對(duì)IC值有顯著影響，原始數(shù)據(jù)電壓采樣間隔較大且存在不確定性，如波峰、波谷等對(duì)應(yīng)的電壓位置不在實(shí)驗(yàn)采樣點(diǎn)則IC曲線上會(huì)忽略這些重要特征，導(dǎo)致提取的電池健康特征難以表征電池退化程度。為此，首先對(duì)充電電壓數(shù)據(jù)進(jìn)行線性插值，縮小采樣間隔從而方便捕捉特征，再采用電壓差分法計(jì)算獲取IC曲線。此時(shí)圖片較插值前更小甚至為負(fù)，易使圖片結(jié)果出現(xiàn)異常值，在IC曲線上表現(xiàn)為產(chǎn)生大量噪聲。為進(jìn)一步獲得易于識(shí)別的IC曲線，選用Savitzky-Golay濾波器進(jìn)行降噪。這是一種基于時(shí)域局部多項(xiàng)式最小二乘擬合的濾波方法，其最大特點(diǎn)是可以保證信號(hào)的形狀和寬度不變，保留低頻數(shù)據(jù)信號(hào)的同時(shí)去除相關(guān)高頻部分[23]。如圖4所示，降噪后曲線變得平滑，波峰位置清晰可見，易于健康特征的提取。
圖4 IC曲線濾波前后對(duì)比
圖5為B0005電池在部分循環(huán)下的IC曲線，可以看出電壓在3.8～4.1 V之間IC曲線變化明顯，第一個(gè)波峰隨循環(huán)次數(shù)增加逐漸消失，第二個(gè)波峰的峰值在逐漸減小的同時(shí)位置后移，這是由于電池內(nèi)部的活性材料和鋰離子損失使得化學(xué)反應(yīng)發(fā)生變化，導(dǎo)致內(nèi)阻增加，引起電壓平臺(tái)偏移。因此，IC曲線第二個(gè)波峰的峰值及位置反映出電池老化的過程，可作為評(píng)估電池SOH的2個(gè)重要健康特征。文獻(xiàn)[24]中提出將各個(gè)波峰對(duì)應(yīng)的20 mV電壓區(qū)間峰下面積作為特征，以減小濾波算法直接引起的波峰峰值和位置漂移所造成的誤差，本工作在此基礎(chǔ)上提出以IC曲線變化最明顯的3.9～4.1 V定電壓區(qū)間峰下面積作為健康特征，進(jìn)一步擴(kuò)大面積計(jì)算范圍以減小濾波前后峰下面積的誤差。按照上述方法分別提取出B0005、B0006、B0007電池IC曲線的峰值高度、峰值電壓、峰面積，與SOH對(duì)應(yīng)的三維分布關(guān)系如圖6所示，可以直觀看出隨著電池SOH衰退，峰值高度逐漸降低，峰面積逐漸減小，峰值電壓逐漸升高，反映出3個(gè)健康特征與SOH均存在較好的線性關(guān)系。
圖5 不同循環(huán)下的IC曲線
圖6 電池健康特征與SOH關(guān)系
使用Pearson系數(shù)法定量衡量上述健康特征與電池SOH之間的相關(guān)性，分析結(jié)果見表1。
表1 健康特征相關(guān)性分析結(jié)果
為消除特征冗余同時(shí)減少后續(xù)機(jī)器學(xué)習(xí)模型訓(xùn)練成本，應(yīng)用MDS非線性降維方法將三維特征降至一維，降維后特征與電池SOH相關(guān)性計(jì)算結(jié)果見表2。
表2 降維后特征相關(guān)性分析結(jié)果
由分析結(jié)果可見，降維前的特征與電池SOH相關(guān)性系數(shù)最低為0.9550，降至一維后的相關(guān)性系數(shù)最低為0.9878，證明MDS降維方法一定程度上提升了所提特征與電池SOH之間的相關(guān)性，降維后的特征能夠更加準(zhǔn)確地反映出SOH變化趨勢(shì)。
3.2 GWO-GPR模型預(yù)測(cè)結(jié)果
本研究以電池?cái)?shù)據(jù)前80個(gè)循環(huán)作為訓(xùn)練集，后88個(gè)循環(huán)作為測(cè)試集，將所提基于IC曲線的GWO-GPR模型與目前電池SOH估計(jì)領(lǐng)域常用的SVR、ELM、未改進(jìn)的GPR模型作對(duì)比，以驗(yàn)證所提模型的準(zhǔn)確性。
為清晰量化不同模型的評(píng)估效果，選用均方根誤差(root mean square error，RMSE)和平均絕對(duì)誤差(mean absolute error，MAE)對(duì)SOH估計(jì)結(jié)果進(jìn)行定量評(píng)價(jià)，MAE是SOH真實(shí)值和估計(jì)值之間絕對(duì)差值的平均，可以評(píng)估所提出方法的預(yù)測(cè)水平，其主要缺點(diǎn)是對(duì)異常值不敏感，而RMSE是均方誤差的均方根，彌補(bǔ)了MAE的不足，表示如下：
其中，圖片表示電池SOH的真實(shí)值，圖片為估計(jì)值，圖片為實(shí)驗(yàn)電池循環(huán)的總次數(shù)。
由圖7可知，在測(cè)試循環(huán)前期，4種方法對(duì)SOH退化軌跡均有較好的跟蹤能力，但隨著實(shí)驗(yàn)周期的增加，退化曲線的非線性越來越強(qiáng)，導(dǎo)致SVR、ELM及GPR的結(jié)果逐漸偏離SOH真實(shí)值；相比其他模型，GWO-GPR的SOH估計(jì)結(jié)果能較好地描述電池的退化軌跡，并可輸出95%置信區(qū)間為結(jié)果提供不確定度量：3塊電池SOH的真實(shí)值均落在GWO-GPR的置信區(qū)間內(nèi)，證明該模型的估計(jì)結(jié)果有較強(qiáng)的可靠性。置信區(qū)間的上限和下限與真實(shí)值越接近，則估計(jì)結(jié)果的可信度越高，由于GWO-GPR對(duì)SOH的預(yù)測(cè)分布是從早期電池循環(huán)中產(chǎn)生，隨著循環(huán)次數(shù)的增加，其置信區(qū)間的上下限范圍不斷擴(kuò)大，表明對(duì)于循環(huán)后期的SOH退化估計(jì)的不確定性增加。通過誤差分析圖可以更直觀地看出GWO-GPR模型的RMSE和MAE均為最小，說明模型估計(jì)精度高且穩(wěn)定性好。其余3種模型的精度和穩(wěn)定性較差，在B0005電池上誤差從小到大排序?yàn)镾VR、GPR、ELM，在B0006電池上誤差從小到大排序?yàn)镋LM、GPR、SVR，在B0007電池上誤差從小到大排序?yàn)镾VR、ELM、GPR。
圖7 不同算法的SOH估計(jì)及誤差分析
4種方法的SOH估計(jì)結(jié)果定量評(píng)價(jià)如表3，應(yīng)用SVR模型估計(jì)B0005、B0006、B0007電池SOH的最大RMSE及MAE分別為0.0282和0.0214，應(yīng)用ELM模型估計(jì)結(jié)果的最大RMSE及MAE為0.0190和0.0167，應(yīng)用GPR模型估計(jì)結(jié)果的最大RMSE及MAE為0.0244和0.0180，均高于GWO-GPR模型的0.0103和0.0050。文獻(xiàn)[25]使用未改進(jìn)的GPR在相同起點(diǎn)進(jìn)行SOH估計(jì)，3塊電池的最大RMSE達(dá)到0.0210，為GWO-GPR誤差的2倍多，進(jìn)一步證明了本改進(jìn)模型可以提供更精確的SOH估計(jì)。
表3 不同方法SOH估計(jì)結(jié)果評(píng)價(jià)
3.3 魯棒性分析
SOH的衰退是動(dòng)態(tài)過程，在實(shí)際使用中電池的老化狀態(tài)通常是未知的，能否在不同老化階段均實(shí)現(xiàn)準(zhǔn)確的SOH估計(jì)是模型實(shí)用性能的重要標(biāo)準(zhǔn)。為進(jìn)一步分析GWO-GPR模型的魯棒性，驗(yàn)證其在不同電池老化狀態(tài)下的SOH估計(jì)精度，本工作基于B0005、B0006、B0007數(shù)據(jù)集，以每塊電池前60、80、100個(gè)循環(huán)作為GWO-GPR模型的訓(xùn)練集，后續(xù)循環(huán)作為測(cè)試集進(jìn)行實(shí)驗(yàn)。由圖8可知，不同電池老化狀態(tài)下GWO-GPR模型均展現(xiàn)出良好的SOH估計(jì)效果，證明該模型具有較高的魯棒性。
圖8 第60、80、100個(gè)循環(huán)為起點(diǎn)的SOH估計(jì)效果
不同起始循環(huán)下的SOH估計(jì)RMSE如表4所示，最大誤差出現(xiàn)在B0006電池以第60個(gè)循環(huán)為估計(jì)起始點(diǎn)時(shí)，僅為1.03%。隨著估計(jì)起始點(diǎn)后移、訓(xùn)練集樣本數(shù)增加，模型輸出的95%置信區(qū)間逐漸縮小，表明對(duì)估計(jì)值的不確定性降低，這是由于更大的訓(xùn)練樣本使模型能夠更全面地理解數(shù)據(jù)的特征、分布和趨勢(shì)；同時(shí)模型的估計(jì)精度也有進(jìn)一步提升，在起始循環(huán)為100時(shí)，3塊電池的估計(jì)精度達(dá)到了0.46%、0.73%、0.52%。
表4 不同起始循環(huán)下SOH估計(jì)均方根誤差
綜上所述，本工作所提基于容量增量曲線的GWO-GPR模型具有較高的準(zhǔn)確性和魯棒性，能夠?qū)Σ煌匣潭鹊碾姵剡M(jìn)行準(zhǔn)確的SOH估計(jì)。
4 結(jié)論
本工作提出一種基于IC曲線的GWO-GPR鋰離子電池SOH估計(jì)模型。以容量增量分析法從IC曲線上提取峰值高度、峰值電壓、峰面積作為健康特征，利用MDS進(jìn)行非線性降維，消除特征冗余性同時(shí)降低模型計(jì)算復(fù)雜度，通過Pearson系數(shù)法驗(yàn)證了降維后的特征與SOH有更強(qiáng)的相關(guān)性。結(jié)合SOH實(shí)際衰退軌跡，采用組合核函數(shù)改進(jìn)GPR模型，為克服共軛梯度法對(duì)超參數(shù)求解時(shí)依賴初值、容易陷入局部最優(yōu)等缺點(diǎn)，使用GWO算法對(duì)組合核函數(shù)的超參數(shù)進(jìn)行優(yōu)化，建立GWO-GPR模型；以NASA電池?cái)?shù)據(jù)集中的前80個(gè)循環(huán)為訓(xùn)練集，后88個(gè)循環(huán)為測(cè)試集，與SVR、ELM及未改進(jìn)的GPR作比較，證明了GWO-GPR模型具有更高的精度，RMSE和MAE最大僅為1.03%和0.5%；以每塊電池第60、80、100個(gè)循環(huán)作為估計(jì)起始點(diǎn)，結(jié)果顯示最大誤差控制在1.03%以內(nèi)，驗(yàn)證了模型的魯棒性。
